Хвилі де Бройля

  1. Корпускулярно-хвильовий дуалізм фотонів і масивних частинок [ правити | правити код ]
  2. Нерелятивістський межа [ правити | правити код ]
  3. Ультрарелятивістських межа [ правити | правити код ]
  4. Формули де Бройля для четирёхвекторов [ правити | правити код ]
  5. Фазова і групова швидкість хвиль де Бройля [ правити | правити код ]

Хвилі де Бройля - хвилі ймовірності (Або хвилі амплітуди ймовірності [1] ), Що визначають щільність ймовірності виявлення об'єкта в заданій точці конфігураційного простору . Відповідно до прийнятої термінологією кажуть, що хвилі де Бройля пов'язані з будь-якими частинками і відображають їх хвильову природу .

Ідея про хвилях, пов'язаних не тільки з квантами світла, а й масивними частинками, запропонована Луї де Бройля в 1923-1924 роках [2] і називається гіпотезою де Бройля. Хоча трактування квадрата модуля амплітуди хвилі як щільності ймовірності в конфігураційному просторі належить Макса Борна [3] , За традицією і в знак визнання заслуг французького фізика говорять про хвилі де Бройля.

Ідея хвиль де Бройля корисна для приблизних висновків про масштаби прояви хвильових властивостей частинок, але не відображає всієї фізичної реальності і тому не лежить в основі математичного апарату квантової механіки. Замість дебройлевскіх хвиль цю роль в квантовій механіці виконує хвильова функція , А в квантової теорії поля - польові оператори.

Корпускулярно-хвильовий дуалізм фотонів і масивних частинок [ правити | правити код ]

фізика атомів , молекул і їх колективів, зокрема кристалів, а також атомних ядер і елементарних частинок вивчається в квантовій механіці. Квантові ефекти є істотними, якщо характерне значення дії (Твір характерною енергії на характерне час або характерного імпульсу на характерне відстань ) Стає порівнянним з ℏ {\ displaystyle \ hbar} фізика атомів , молекул і їх колективів, зокрема кристалів, а також атомних ядер і елементарних частинок вивчається в квантовій механіці ( постійна Планка ). Якщо частинки рухаються зі швидкостями багато менше, ніж швидкість світла у вакуумі c {\ displaystyle c} , То застосовується нерелятивістська квантова механіка; при швидкостях близьких до c {\ displaystyle c} - релятивістська квантова механіка.

В основі квантової механіки лежать уявлення планка про дискретно характер зміни енергії атомів , Ейнштейна про фотонах , Дані про квантованности деяких фізичних величин (наприклад, імпульсу і енергії), що характеризують в певних умовах стану частинок мікросвіту. У той же час було твердо встановлено, що світло проявляє властивості не тільки потоку частинок, але і хвилі, тобто володіє корпускулярно-хвильовим дуалізмом .

Де Бройль висунув ідею про те, що хвильовий характер поширення, встановлений для фотонів, має універсальний характер. Він повинен проявлятися для будь-яких частинок, що володіють імпульсом p {\ displaystyle p} Де Бройль висунув ідею про те, що хвильовий характер поширення, встановлений для фотонів, має універсальний характер . Всі частинки, що мають кінцевий імпульс p {\ displaystyle p} , Мають хвильовими властивостями, зокрема, схильні до інтерференції і дифракції [4] .

Хвилі де Бройля мають специфічну природу, що не має аналогії серед хвиль, що вивчаються в класичної фізики : Квадрат модуля амплітуди хвилі де Бройля в даній точці є мірою ймовірності того, що частка виявляється в цій точці. Дифракційні картини, які спостерігаються в дослідах, є проявом статистичної закономірності , Згідно з якою частинки потрапляють в певні місця в приймачах - туди, де інтенсивність хвилі де Бройля виявляється найбільшою. Частинки не виявляються в тих місцях, де, згідно з статистичної інтерпретації , Квадрат модуля амплітуди «хвилі ймовірності» звертається в нуль.

Формула де Бройля встановлює залежність довжини хвилі λ {\ displaystyle \ lambda} Формула де Бройля встановлює залежність довжини хвилі λ {\ displaystyle \ lambda} , Пов'язаної з рухається часткою речовини, від імпульсу p {\ displaystyle p} частинки, а повної енергії E {\ displaystyle E} - від частоти ν {\ displaystyle \ nu} , У вигляді релятивістськи інваріантних співвідношень: , Пов'язаної з рухається часткою речовини, від імпульсу p {\ displaystyle p} частинки, а повної енергії E {\ displaystyle E} - від частоти ν {\ displaystyle \ nu} , У вигляді релятивістськи інваріантних співвідношень:

λ = h p, {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}},} λ = h p, {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}},} E = h ν, {\ displaystyle E = h \ nu} E = h ν, {\ displaystyle E = h \ nu}

де h {\ displaystyle h} де h {\ displaystyle h} - постійна Планка - постійна Планка .

Інший вид формул де Бройля:

p = h 2 π k = ℏ k, {\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {h} {2 \ pi}} \ mathbf {k} = \ hbar \ mathbf {k},} p = h 2 π k = ℏ k, {\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {h} {2 \ pi}} \ mathbf {k} = \ hbar \ mathbf {k},} E = ℏ ω, {\ displaystyle E = \ hbar \ omega} E = ℏ ω, {\ displaystyle E = \ hbar \ omega}

де k = 2 π λ n {\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \ mathbf {n}} де k = 2 π λ n {\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \ mathbf {n}} - хвильовий вектор, модуль якого k = 2 π λ {\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}} - хвильове число - є число довжин хвиль, що укладаються на 2 π {\ displaystyle 2 \ pi} одиницях довжини, ω = 2 π ν {\ displaystyle \ omega = 2 \ pi \ nu} - циклічна частота, n {\ displaystyle \ mathbf {n}} - одиничний вектор у напрямку поширення хвилі, ℏ = h 2 π ≈ 1, 05 ⋅ 10 - 34 {\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}} \ approx 1 {,} 05 \ cdot 10 ^ {-34}} Дж · с - хвильовий вектор, модуль якого k = 2 π λ {\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}} - хвильове число - є число довжин хвиль, що укладаються на 2 π {\ displaystyle 2 \ pi} одиницях довжини, ω = 2 π ν {\ displaystyle \ omega = 2 \ pi \ nu} - циклічна частота, n {\ displaystyle \ mathbf {n}} - одиничний вектор у напрямку поширення хвилі, ℏ = h 2 π ≈ 1, 05 ⋅ 10 - 34 {\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}} \ approx 1 {,} 05 \ cdot 10 ^ {-34}} Дж · с.

Повна енергія E = E K + m 0 c {\ displaystyle E = E_ {K} + m_ {0} c} Повна енергія E = E K + m 0 c {\ displaystyle E = E_ {K} + m_ {0} c} включає кінетичну енергію E K {\ displaystyle E_ {K}} і енергію спокою E 0 = m 0 c 2 {\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}} , В термінах яких включає кінетичну енергію E K {\ displaystyle E_ {K}} і енергію спокою E 0 = m 0 c 2 {\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}} , В термінах яких

λ = hp = hc [EK (EK + 2 m 0 c 2)] - 1/2, {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}} = hc [E_ {K} (E_ {K} + 2m_ {0} c ^ {2})] ^ {- 1/2},} λ = hp = hc [EK (EK + 2 m 0 c 2)] - 1/2, {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}} = hc [E_ {K} (E_ {K} + 2m_ {0} c ^ {2})] ^ {- 1/2},}

де hc = 1240 еВ × нм, і значення m 0 c 2 {\ displaystyle m_ {0} c ^ {2}} де hc = 1240 еВ × нм, і значення m 0 c 2 {\ displaystyle m_ {0} c ^ {2}} рівні 0 для фотона і інших безмассових частинок, m e c 2 = {\ displaystyle m_ {e} c ^ {2} =} 511 кеВ для електрона, і m p c 2 = {\ displaystyle m_ {p} c ^ {2} =} 938 МеВ для протона рівні 0 для фотона і інших безмассових частинок, m e c 2 = {\ displaystyle m_ {e} c ^ {2} =} 511 кеВ для електрона, і m p c 2 = {\ displaystyle m_ {p} c ^ {2} =} 938 МеВ для протона.

Нерелятивістський межа [ правити | правити код ]

У частинок з дорелятівістскімі енергіями, що рухаються зі швидкістю v «c {\ displaystyle v \ ll c} У частинок з дорелятівістскімі енергіями, що рухаються зі швидкістю v «c {\ displaystyle v \ ll c} ( швидкості світла ), Для імпульсу справедлива формула p = m v {\ displaystyle p = mv} (Де m {\ displaystyle m} - маса частинки), для кінетичної енергії W = E - m c 2 {\ displaystyle W = E-mc ^ {2}} - формула W = m v 2/2 {\ displaystyle W = mv ^ {2} / 2} ( швидкості світла ), Для імпульсу справедлива формула p = m v {\ displaystyle p = mv} (Де m {\ displaystyle m} - маса частинки), для кінетичної енергії W = E - m c 2 {\ displaystyle W = E-mc ^ {2}} - формула W = m v 2/2 {\ displaystyle W = mv ^ {2} / 2} . Тоді довжина хвилі де Бройля

λ = h p = h m v = h 2 m W. {\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}} = {\ frac {h} {mv}} = {\ frac {h} {\ sqrt {2mW}}}.} λ = h p = h m v = h 2 m W

Зокрема, для електрона, який прискорився в електричному полі з різницею потенціалів Δ φ {\ displaystyle \ Delta \ varphi} Зокрема, для електрона, який прискорився в електричному полі з різницею потенціалів Δ φ {\ displaystyle \ Delta \ varphi} вольт вольт

λ = 12, 25 Δ φ Å. {\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {12 {,} 25} {\ sqrt {\ Delta \ varphi}}} \; \ mathrm {\ AA}.} λ = 12, 25 Δ φ Å

Ультрарелятивістських межа [ правити | правити код ]

Для частинок в ультрарелятивістських випадку, коли їх швидкість близька до швидкості світла, v → c, E »m c 2 {\ displaystyle v \ rightarrow c, E \ gg mc ^ {2}} Для частинок в ультрарелятивістських випадку, коли їх швидкість близька до швидкості світла, v → c, E »m c 2 {\ displaystyle v \ rightarrow c, E \ gg mc ^ {2}} , Довжини хвилі дорівнює λ = h c E {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {hc} {E}}} [5] , Довжини хвилі дорівнює λ = h c E {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {hc} {E}}} [5] .

Формули де Бройля для четирёхвекторов [ правити | правити код ]

В чотиривимірному вигляді формули де Бройля пов'язують четирёхвектор енергії-імпульсу p μ {\ displaystyle p ^ {\ mu}} В чотиривимірному вигляді формули де Бройля пов'язують четирёхвектор енергії-імпульсу p μ {\ displaystyle p ^ {\ mu}} з чотиривимірним хвильовим вектором і мають вигляд [6] : з чотиривимірним хвильовим вектором і мають вигляд [6] :

p μ = (p 0 p 1 p 2 p 3) = (E / c p x p y p z) = ℏ (ω / c k x k y k z). {\ Displaystyle p ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} p_ {0} \\ p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } E / c \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} = \ hbar {\ begin {pmatrix} \ omega / c \\ k_ {x} \\ k_ {y} \\ k_ {z} \ end {pmatrix}}.} p μ = (p 0 p 1 p 2 p 3) = (E / c p x p y p z) = ℏ (ω / c k x k y k z)

Енергія і імпульс будь-якого матеріального об'єкта пов'язані співвідношенням:

E 2 c 2 = m 2 c 2 + p x 2 + p y 2 + p z 2. {\ Displaystyle {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} = m ^ {2} c ^ {2} + p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}.} E 2 c 2 = m 2 c 2 + p x 2 + p y 2 + p z 2

Аналогічним співвідношенням пов'язані частота і хвильовий вектор [6] :

ω 2 c 2 = m 2 c 2 ℏ 2 + k x 2 + k y 2 + k z 2. {\ Displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} + k_ { x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}.} ω 2 c 2 = m 2 c 2 ℏ 2 + k x 2 + k y 2 + k z 2

Фазова і групова швидкість хвиль де Бройля [ правити | правити код ]

фазова швидкість хвиль де Бройля вільної частинки

v f = ω k = E p = m c 2 m v = c 2 v ≃ c 2 h m λ = c 2 p 2 2 W h λ. {\ Displaystyle v_ {f} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ frac {E} {p}} = {\ frac {mc ^ {2}} {mv}} = {\ frac { c ^ {2}} {v}} \ simeq {\ frac {c ^ {2}} {h}} m \ lambda = {\ frac {c ^ {2} p ^ {2}} {2Wh}} \ lambda.} v f = ω k = E p = m c 2 m v = c 2 v ≃ c 2 h m λ = c 2 p 2 2 W h λ

Останні співвідношення - нерелятивістському наближення. Залежність фазової швидкості дебройлевскіх хвиль від довжини хвилі вказує на те, що ці хвилі відчувають дисперсію . Фазова швидкість v f {\ displaystyle v_ {f}} Останні співвідношення - нерелятивістському наближення хвилі де Бройля хоча і більше швидкості світла, але відноситься до числа величин, принципово не здатні переносити інформацію (є суто математичним об'єктом).

групова швидкість хвилі де Бройля u {\ displaystyle u} групова швидкість хвилі де Бройля u {\ displaystyle u} дорівнює швидкості частинки v {\ displaystyle v} : дорівнює швидкості частинки v {\ displaystyle v} :

u = d ω d k = d E d p = v {\ displaystyle u = {\ frac {d \ omega} {dk}} = {\ frac {dE} {dp}} = v} u = d ω d k = d E d p = v {\ displaystyle u = {\ frac {d \ omega} {dk}} = {\ frac {dE} {dp}} = v} .

Гіпотеза де Бройля пояснює ряд експериментів, непояснених в рамках класичної фізики [7] :

Хвильові властивості не проявляються у макроскопічних тел. Довжини хвиль де Бройля для таких тіл настільки малі, що виявлення хвильових властивостей виявляється неможливим. Втім, спостерігати квантові ефекти можна і в макроскопічному масштабі, особливо яскравим прикладом цього служать надпровідність і надтекучість .

  1. ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М., Фейнмановские лекції з фізики. Вип. 3-4, 1976 , С. 221-222, 412.
  2. ↑ Louis de Broglie "The Reinterpretation of Wave Mechanics" Foundations of Physics, Vol. 1 No. 1 (1970)
  3. ↑ М. Борн. Роздуми і спогади фізика: Збірник статей / Відп. ред. Е. І. Чудінов. - М.: Наука, 1977. - С. 16. - 280 с.
  4. ↑ Широков Ю. М. , Юдін Н. П. Ядерна фізика. - М .: Наука, 1972. - С. 17-18
  5. ↑ Хвилі де Бройля - стаття з фізичної енциклопедії
  6. ↑ 1 2 Паулі В. Загальні принципи хвильової механіки. - М .: ОГИЗ, 1947. - С. 14
  7. ↑ Мартінсон Л.К., Смирнов Є.В. Розділ 2.2. Експериментальні підтвердження гіпотези де Бройля // Квантова фізика . - М.: МГТУ ім. Н. Е. Баумана , 2004. - Т. 5. - 496 с. - 3000 екз. - ISBN 5-7038-2797-3 . Читальний зал 26 квітня 2009 року. архівна копія 26 квітня 2009 на Wayback Machine
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекції з фізики. Вип. 3-4. - 3-е изд. - М: Світ, 1976. - 496 с.