Перша ознака рівності трикутників - доказ: другий і третій ознаки, теорема і визначення

1. Застосування навички на практиці
2. Доказ 1 ознаки
3. Доказ 2 ознаки
4. Доказ 3 ознаки
5. Наслідки першої ознаки
6. висновок

З далеких часів і донині пошук ознак рівності фігур вважається базовим завданням, яка є основою основ геометрії; сотні теорем доводяться з використанням ознак рівності. Уміння доводити рівність і подібність фігур - важливе завдання в усіх сферах будівництва.

...

Застосування навички на практиці

Припустимо, що у нас є фігура, накреслена на аркуші паперу. При цьому у нас є лінійка і транспортир, за допомогою яких ми можемо заміряти довжини відрізків і кути між ними. Як перенести на другий аркуш паперу фігуру таких же розмірів або збільшити її масштаб у два рази.

Ми знаємо, що трикутник - це фігура, що складається з трьох відрізків, які називаються сторонами, утворюють кути. Таким чином, існує шість параметрів - три сторони і три кути, які визначають цю фігуру.

Однак, заміривши величину всіх трьох сторін і кутів, перенести цю фігуру на іншу поверхню виявиться непростим завданням. Крім того, є сенс поставити запитання: а хіба мало буде знання параметрів двох сторін і одного кута, або всього лише трьох сторін.

Заміривши довжину двох сторін і кут між ними, потім відкладемо цей кут на новому листку паперу, так ми зможемо повністю відтворити трикутник. Давайте розберемося, як це зробити, навчимося доводити ознаки, за якими їх можна вважати однаковими, і визначимося з тим, яку мінімальну кількість параметрів досить знати, щоб отримати впевненість у тому, що трикутники однакові.

Важливо! Фігури називаються однаковими, якщо відрізки, що утворюють їх боку, і кути рівні між собою. Подібними називаються ті фігури, у яких сторони і кути пропорційні. Таким чином, рівність - це подібність з коефіцієнтом пропорційності 1.

Які існують ознаки рівності трикутників, дамо їх визначення:

• перша ознака рівності: два трикутника можна вважати однаковими, якщо рівні дві їх боку, а також кут між ними.
• друга ознака рівності трикутників: два трикутника будуть однаковими, якщо однакові два кута, а також відповідна сторона між ними.
• третя ознака рівності трикутників: трикутники можна вважати однаковими, коли всі їхні сторони мають рівну довжину.

Як довести, що трикутники рівні. Наведемо доказ рівності трикутників.

Доказ 1 ознаки

Довгий час серед перших математиків дана ознака вважався аксіомою, проте, як виявилося, його можна геометрично довести, спираючись на більш базові аксіоми.

Розглянемо два трикутника - KMN і K1M1N1. Сторона КМ має таку ж довжину як і K1M1, а KN = K1N1. А кут MKN дорівнює кутах KMN і M1K1N1.

Якщо розглядати KM і K1M1, KN і K1N1 як два промені, які виходять з однієї точки, то можна сказати, що між цими парами променів однакові кути (це задано умовою теореми). Зробимо паралельний перенесення променів K1M1 і K1N1 з точки K1 в точку К. Внаслідок цього перенесення промені K1M1 і K1N1 повністю співпадуть. Відкладемо на промені K1M1 відрізок довжиною КМ, що бере свій початок в точці К. Оскільки за умовою отриманий відрізок і буде дорівнює відрізку K1M1 то точки М і M1 збігаються. Аналогічно і з відрізками KN і K1N1. Таким чином, переносячи K1M1N1 так, що точки K1 і К збігаються, а дві сторони накладаються, отримуємо повний збіг і самих фігур.

Важливо! В інтернеті зустрічаються докази рівності трикутників за двома сторонами і куту за допомогою алгебраїчних і тригонометричних тотожностей з чисельними значеннями сторін і кутів. Однак історично і математично дана теорема була сформульована задовго до алгебри і раніше, ніж тригонометрія. Для доказу цієї ознаки теореми використовувати що-небудь, крім базових аксіом, некоректно.

Доказ 2 ознаки

Доведемо друга ознака рівності по двох кутах і стороні, грунтуючись на першому.

Доказ 2 ознаки

Розглянемо KMN і PRS. До дорівнює Р, N дорівнює S. Сторона КN має таку ж довжину, як і РS. Необхідно довести, що KMN і PRS - однакові.

Відобразимо точку М щодо променя КN. Отриману точку назвемо L. При цьому довжина сторони КМ = КL. NKL дорівнює PRS. KNL дорівнює RSP.

Оскільки сума кутів дорівнює 180 градусів, то KLN дорівнює PRS, а значить PRS і KLN- однакові (подібні) по обидва боки і розі, згідно з першим ознакою.

Але, так як KNL дорівнює KMN, то KMN і PRS - дві однакові фігури.

Це цікаво! Чому дорівнює і як знайти площа рівностороннього трикутника

Доказ 3 ознаки

Як встановити, що трикутники рівні. Це прямо випливає з докази другої ознаки.

Довжина KN = PS. Оскільки К = Р, N = S, KL = KM, при цьому КN = KS, MN = ML, то:

Це означає, що обидві фігури є подібними один одному. Але так як їх боку однакові, то і вони є рівними.

З ознак рівності і подібності випливає безліч наслідків. Одне з них полягає в тому, що для того, щоб визначити, рівні два трикутника чи ні, необхідно знати їх властивості, однакові чи:

• всі три сторони;
• обидві сторони і кут між ними;
• обидва кута і сторона між ними.

Використання ознаки рівності трикутників для вирішення завдань

Це цікаво! Вивчаємо математику в ігровій формі: як дитині швидко вивчити таблицю множення

Наслідки першої ознаки

В ході докази можна прийти до ряду цікавих і корисних наслідків.

1. паралелограм . Той факт, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить їх на дві однакові частини - наслідок ознак рівності і цілком піддається доказательству.Сторони додаткового трикутника (при дзеркальному побудові, як в доказах, які ми виконували) - паралельні сторонам головного (сторони паралелограма).
2. Якщо є два прямокутних трикутника, у яких однакові гострі кути, то вони подібні. Якщо при цьому катет першого дорівнює катету другого, то вони рівні. Зрозуміти це досить легко - у будь-яких прямокутних трикутників є прямий кут. Тому ознаки рівності для них більш прості.
3. Два трикутника з прямими кутами, у яких два катета мають однакову довжину, можна вважати однаковими. Це пов'язано з тим, що між двома катетами кут завжди дорівнює 90 градусів. Тому за першою ознакою (по двох сторонах і куту між ними) все трикутники з прямими кутами і однаковими катетами - рівні.
4. Якщо є два прямокутних трикутника, і у них один катет і гіпотенуза рівні, значить і трикутники однакові.

Доведемо цю просту теорему.

Є два прямокутних трикутника. У одного боку a, b, c, де с - гіпотенуза; a, b - катети. У другого боку n, m, l, де l - гіпотенуза; m, n - катети.

По теоремі Піфагора один з катетів дорівнює:

;

.

Таким чином, якщо n = a, l = з (рівність катетів і гіпотенуз), відповідно і другі катети будуть рівні. Фігури, відповідно, будуть рівні за третьою ознакою (за трьома сторонами).

Відзначимо ще один важливий наслідок. Якщо є два рівних трикутника, і вони подібні з коефіцієнтом подібності k, тобто попарні відносини всіх їх сторін рівні k, то ставлення їх площ дорівнює k2.

Перша ознака рівності трикутників. Відеоурок по геометрії 7 клас

Геометрія 7 Перша ознака рівності трикутників

висновок

Розглянута нами тема допоможе будь-якому учневі краще розібратися в базових геометричних поняттях і підвищити свої навички в найцікавішому світі математики.