Формула Пепина для розрахунку довжини дуги арки

Формула Пепина для розрахунку довжини дуги арки.
Днями виповниться мені 54 роки. На черзі 54 стаття по лічильнику «Прози». У пакунку число 54 дає просте число 9 - точно таке ж число виходить при згортку мого повного справжнього ПІБ. Прийшла ідея «відзначити» такий збіг чисел цікавою статтею. Вирішив опублікувати мою формулу для розрахунку довжини дуги арки. (Першу арку я виготовив, як не дивно, теж 9 років тому.)
Кому це потрібно?
Це потрібно таким же, як я людям, які при виготовленні металовиробів: арочних козирків, альтанок, теплиць і різного роду дахів - стикаються з необхідністю розрахунків заготовок для гнуття дуг, скажімо з профільної труби різного розміру.
Арки з металопрофілю виготовляються прокатування металу в тривалкові вальцах. За рахунок багаторазового прокатування «туди-назад» пряма заготовка металу набуває форму частини дуги окружності. Дуга виходить, звичайно, неточною геометричній копією частини кола. Але цілком достатнім наближенням до окружності. Точність залежить від декількох факторів: від однорідності труби, від ступеня зносу валів вальців, від відстані між валами вальців і від кількості проходів - кількості раз прокатування «туди-назад». Ну, і звичайно від мистецтва і навичок виробника.
Але моя ідея полягає в тому, що якщо знати довжину заготовки металу для конкретної дуги, то при прокочуванні заготовки потрібно тільки заміряти відстань між кінцями заготовки. І коли при виготовленні дуги відстань між кінцями заготовки співпаде з розміром підстави дуги (прямий, що обмежує сегмент дуги знизу), то дуга знаходить задані розміри, вона готова.
Але як розрахувати довжину дуги, коли зазвичай для козирка або альтанки задаються величина підстави сегмента дуги і висоті дуги? Добре, якщо вже є готовий креслення, який намальований архітектором, дизайнером або рекламником. Там хоча б є радіус дуги. І тоді можна на підходящої поверхні накреслити частина окружності з таким радіусом. При виготовленні перших дуг так доводилося робити: креслити дугу на землі або на підлозі. І заміряти довжину заготовки для дуги, прикладаючи до намальованої дузі рулетку. Потім відрізати заготовку такої довжини і прокатувати до збігу з розміром підстави сегмента дуги.
Дивлячись на те, як красиво вимальовуються дуги в графічних редакторах на комп'ютері, мені весь час думалося, що повинна бути така формула, по якій можна вирахувати довжину дуги, знаючи тільки розміри підстави і висоти дуги. Перекопавши доступну літературу з математики та по будівництву, я не зміг знайти таку формулу. АЛЕ думаю, що, напевно, вона десь є. Тому вирішив спробувати самому вивести цю формулу. Благо діти вчилися в старших класах школи і були підручники з геометрії. І ... Ось, за допомогою підручника геометрії 10 або 11 класу, точно вже не пам'ятаю, мені вдалося вивести таку формулу. Саме доказ, навіть вже приготоване у вигляді статті ще році в 2005-му, згинуло разом з усією інформацією, коли «здох» черговий жорсткий диск комп'ютера, але сам спосіб обчислення довжини дуги сегмента залишився у вигляді алгоритму записаного в робочому зошиті, завдяки тому, що я цим алгоритмом постійно користуюся.
Ось цей метод обчислення довжини дуги по підставі і висоті дуги і свою формулу я пропоную всім зацікавленим людям.
Подивимося на малюнок. Припустимо нам потрібно знайти довжину верхньої дуги зображеної арки. Малюємо на цій арці прямокутний трикутник. Одним катетом є висота арки - це катет b (катет протилежні кутку альфа). Він же є частиною радіусу. Другий катет - a (катет прилегла до кута альфа), є половиною підстави сегмента арки.
Виходячи з величин катетів цього трикутника, ми можемо знайти довжину дуги арки (сегмента) по формулі (3), яку я нескромно назвав формулою Пепина. (3)
Як бачимо, для отримання величини довжини дуги нам потрібно знати кут альфа. Величину цього кута ми можемо знайти через відношення відомих нам розмірів катетів, тобто через тангенс кута альфа. Для цього ми згідно з формулою (1) поділимо величину катета b на величину катета a.
Скоротивши (округливши) отримане значення тангенса до тисячної ми за скороченою таблиці тангенсів Брадіса, наведеної на малюнку, знаходимо значення кута альфа. В колонках tg; приведена тільки дрібна частина тангенса (для простоти відкинуто 0 цілих). Як показує мій досвід, що для задовільної точності виготовлення дуги досить знати величину градуса з десятою частиною кута. Але у нас таблиця тільки з цілими значеннями градусів. Якщо привести з десятими, то величина таблиці збільшитися теж в 10 разів. Мені здалося, що тоді довго шукати доведеться. Бажаючі, звичайно, можуть взяти повну таблицю тангенсів Брадіса і користуватися їй. Я роблю, те знаходжу десяту частину градуса за допомогою прикидки «в умі». Між цілими градусами різниця від 18 до 34 тисячних градуса. Розділивши цю різницю на 10, я отримую значення тангенса для десятої частки кута альфа. І вже, прикинувши, скільки не вистачає або лишку до найближчого цілого градуса, я знаходжу десяткове значення градуса кута альфа. Хтось, може бути, побудує собі таблицю з точністю до десятої частки градуса.
Далі нам потрібно розрахувати величину радіуса дуги R. Для цього виведена формула (2)

Далі, значення кута альфа і радіусу підставляємо в формулу Пепина (3) і отримуємо довжину дуги. Потім, ріжемо заготовку металу такої довжини і прокатує до тих пір, поки відстань між кінцями заготівлі не стане рівним величині підстави дуги.
Перш ніж розглянути конкретний приклад, нагадаю, що якщо у вас дуга дорівнює точно півкола, то ви можете скористатися класичною формулою довжини кола яка дорівнює Пі R (півколо).
Розглянемо приклад. Нехай у нас висота арки 87 сантиметрів, а ширина (величина підстави сегмента 256 сантиметрів (2 метра 56 сантиметрів)
Крок 1. Формула (1)
Шукаємо тангенс кута альфа. Для цього поділимо 87 сантиметрів на половину підстави, тобто на 128 сантиметрів. Отримуємо 0,6796875. Округляючи до тисячної - отримуємо 0, 680. Це значення потрапляє між 34 і 35 градусами. Між ними різниця в 25 «одиниць». Значить однієї десятої градуса відповідає 2, 5 «одиниці». Між значенням 34 градуси = 0, 675 і отриманими 0, 680 всього п'ять «одиниць». 5 «одиниць» поділимо на 2, 5 і отримуємо, що до 34 градусів потрібно додати 2 десятих градуса. Значить, шукана величина кута альфа дорівнює 34, 2 градуса.
Крок 2. (Формула (2)
Обчислюємо значення радіуса. Катет b = 0.87 метра, В квадраті це буде 0,7569. Катет a = 1.28 метра, отже, в квадраті це буде = 1, 6384. Сума квадратів катетів = 2,3953. Тепер це число поділимо на подвоєний катет b, що відповідає 1.74 метра. Отримуємо в результаті значення радіуса дорівнює 1.3766 .. метра. Нас влаштує таке значення, і навіть значення 1,38 метра.
Крок 3 Формула (3)
Підставляємо отримані значення в формулу Пепина.
Кут 34,2 градуса помножается на радіус 1.38 метра і помножается на коефіцієнт 0.07 (сім сотих) і отримуємо величину довжини дуги = 3, 30372 ... Для практичних цілей беремо заготовку довжиною 3 метри 30 сантиметрів.
Практично у кожних вальців дуга НЕ прокатує самі кінці дуги через те, що між валами вальців є відстань. У мене на невеликих вальцах це непрокативаемое відстань всього за сім сантиметрів з кожного кінця. На якість виробу ці прямі частини не впливають. Тому я беру заготовки по розрахованої за формулою (3) величиною. Тим, хто хоче мати більш повну відповідність дуги геометрії кола, або у кого більше не прокатує кінці, то для цього слід до розрахованої довжині дуги додати подвоєне вiдстань не прокочується кінця, і заміряти величину підстави з урахуванням (вирахуванням) цього подовження заготовки.
Всім успіхів в роботі і побудова арок, які знаходять все більше і більше застосування в нашому житті!
ЖЖУК Іван. 20 жовтня 2012 року. м Орел.
Дня через два опублікую цю статтю на сайті Гайдпарку, там вона буде мати більш зручний для читання вигляд.
З огляду на те, що стаття була написана в 2005 році приблизно ... вона може трохи "застаріла" ..... в інтернеті вже давно з'явилися ОН-Лайн калькулятори, які дозволяють робити подібні і багато інших розрахунки. Мені подобається ось цей, я його перевірив на практиці, розраховує ПРАВИЛЬНО !!!
https://planetcalc.ru/1421/
Його і рекомендую спробувати всім моїм читачам !!!!

рецензії