Cubos geométricos. O que é um cubo diagonal e como encontrá-lo

Ou um hexaedro) é uma figura tridimensional, cada face é um quadrado no qual, como sabemos, todos os lados são iguais. A diagonal do cubo é um segmento que passa pelo centro da figura e conecta vértices simétricos. Em um hexaedro regular existem 4 diagonais, e todas elas serão iguais. É muito importante não confundir a diagonal da figura em si com a diagonal de sua face ou quadrado, que se encontra em sua base. A face diagonal do cubo passa pelo centro da face e conecta os vértices opostos do quadrado.

Fórmula para encontrar a diagonal do cubo

A diagonal de um poliedro regular pode ser encontrada usando uma fórmula muito simples que precisa ser lembrada. D = a√3, onde D é a diagonal do cubo e é a borda. Damos um exemplo de um problema onde é necessário encontrar uma diagonal, se é sabido que o comprimento de sua borda é de 2 cm, onde tudo é apenas D = 2√3, mesmo nada precisa ser considerado. No segundo exemplo, deixe a borda do cubo ser √3 cm, então obtemos D = √3√3 = √9 = 3. Resposta: D é 3 cm.

A fórmula pela qual você pode encontrar a diagonal da face do cubo

Diago Diago   Você também pode encontrar um rosto pela fórmula Você também pode encontrar um rosto pela fórmula. As diagonais que estão nas bordas são apenas 12 peças e são todas iguais. Agora nos lembramos de d = a√2, onde d é a diagonal do quadrado e também é a borda do cubo ou o lado do quadrado. Entender de onde veio essa fórmula é muito simples. Afinal, os dois lados do quadrado e a forma diagonal, nesse trio, a diagonal desempenha o papel da hipotenusa, e os lados do quadrado são as pernas, que têm o mesmo comprimento. Lembre-se do teorema de Pitágoras, e tudo se encaixará imediatamente. Agora a tarefa: a borda do hexaedro é √8 cm, é necessário encontrar a diagonal do seu rosto. Nós inserimos na fórmula e obtemos d = √8 √2 = √16 = 4. Resposta: a diagonal da face do cubo é de 4 cm.

Se a diagonal da face do cubo é conhecida

Pela condição do problema, nos é dada apenas a diagonal da face de um poliedro regular, que é, digamos, √2 cm, e precisamos encontrar a diagonal do cubo. A fórmula para resolver esse problema é um pouco mais complicada que a anterior. Se soubermos d, então podemos encontrar a borda do cubo, com base em nossa segunda fórmula d = a√2. Nós temos a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (esta é a nossa vantagem). E se essa quantidade for conhecida, é fácil encontrar a diagonal do cubo: D = 1√3 = √3. Foi assim que resolvemos nosso problema.

Se a área de superfície é conhecida


O seguinte algoritmo de solução é baseado em encontrar a diagonal supondo que seja igual a 72 cm 2. Para começar, vamos encontrar a área de uma face, e são seis, de modo que 72 devem ser divididos por 6, 12 cm 2. Esta é a área de um rosto. Para encontrar a borda de um poliedro regular, é necessário recordar a fórmula S = a 2, que significa a = √S. Substitua e recebemos a = √12 (borda do cubo). E se sabemos este valor, então a diagonal não é difícil de encontrar D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. A resposta: a diagonal do cubo é 6 cm2.

Se o comprimento das bordas do cubo for conhecido

Há casos em que o problema recebe apenas o comprimento de todas as arestas do cubo. Então é necessário dividir este valor por 12. É o número de lados no poliedro correto. Por exemplo, se a soma de todas as arestas for 40, um lado será igual a 40/12 = 3,333. Nós inserimos em nossa primeira fórmula e recebemos a resposta!

Em que você precisa encontrar a borda do cubo. Essa é a definição do comprimento de uma borda do cubo pela área da face do cubo, pelo volume do cubo, pela diagonal da face do cubo e pela diagonal do cubo. Considere todas as quatro opções para essas tarefas. (As tarefas restantes, como regra, são variações do acima ou tarefas na trigonometria, que estão muito indiretamente relacionadas com a questão em consideração)

Se você conhece a área da face do cubo, então encontre a borda do cubo é muito simples. Como a face do cubo é um quadrado com um lado igual à borda do cubo, sua área é igual ao quadrado da borda do cubo. Portanto, o comprimento da borda do cubo é igual à raiz quadrada da área de sua face, ou seja:

e - o comprimento da borda do cubo,

S é a área da face do cubo.

Encontrar o rosto de um cubo em seu volume é ainda mais fácil. Dado que o volume do cubo é igual ao cubo (do terceiro grau) do comprimento da aresta do cubo, obtemos que o comprimento da aresta do cubo é igual à raiz do cubo (terceiro grau) do seu volume, ou seja:

e - o comprimento da borda do cubo,

V é o volume do cubo.

Encontrar o comprimento de uma borda de cubo ao longo de comprimentos diagonais conhecidos é um pouco mais difícil. Denotar por:

e - o comprimento da borda do cubo;

b - o comprimento da diagonal da face do cubo;

c - o comprimento do cubo diagonal.

Como pode ser visto a partir da figura, a diagonal da face e as bordas do cubo formam um triângulo equilátero retangular. Portanto, de acordo com o teorema de Pitágoras:

A partir daqui, encontramos:

(para encontrar a borda do cubo que você precisa extrair raiz quadrada de metade do quadrado da face diagonal).

Para encontrar a borda do cubo ao longo de sua diagonal, usamos o padrão novamente. A diagonal do cubo (c), a diagonal da face (b) e a borda do cubo (a) formam um triângulo retângulo. Então, de acordo com o teorema de Pitágoras:

Usamos a relação acima entre aeb e substituto na fórmula

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Nós temos:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, onde encontramos:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, portanto:

Um cubo é um paralelepípedo retangular, todas as arestas são iguais. Portanto, a fórmula geral para o volume de um paralelepípedo retangular e a fórmula para sua área de superfície no caso de um cubo são simplificadas. Além disso, o volume do cubo e sua área de superfície podem ser encontrados, conhecendo o volume da bola inscrita nele, ou a bola descrita em torno dele.

Você vai precisar

  • o comprimento do lado do cubo, o raio da bola inscrita e descrita

Instrução

O volume de um paralelepípedo retangular é: V = abc - onde a, b, c são suas dimensões. Portanto, o volume do cubo é igual a V = a * a * a = a ^ 3, onde a é o comprimento do lado do cubo.A área de superfície do cubo é igual à soma das áreas de todas as suas faces. O cubo tem seis faces, portanto, sua área de superfície é S = 6 * (a ^ 2).

Deixe a bola caber no cubo. Obviamente, o diâmetro dessa bola será igual ao lado do cubo . Substituindo o comprimento do diâmetro na expressão para o volume em vez do comprimento da borda do cubo e usando que o diâmetro é igual a duas vezes o raio, obtemos V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), onde d é o diâmetro do círculo inscrito e r é o raio do círculo inscrito.A área de superfície do cubo será então S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Deixe a bola ser descrita em torno de um cubo . Então seu diâmetro coincidirá com a diagonal do cubo . A diagonal do cubo passa pelo centro do cubo e conecta seus dois pontos opostos.
Considere primeiro uma das faces do cubo . As bordas dessa faceta são as pernas de um triângulo retângulo, no qual a diagonal da face d será uma hipotenusa. Então, pelo teorema de Pitágoras, obtemos: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Então considere o triângulo no qual a hipotenusa é a diagonal do cubo , e a diagonal da face d e uma das bordas do cubo a é suas pernas. Da mesma forma, pelo teorema de Pitágoras, obtemos: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Então, de acordo com a fórmula derivada, a diagonal do cubo é D = a * sqrt (3). Portanto, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Portanto, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), onde R é o raio da bola descrita A área da superfície do cubo é S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Muitas vezes há tarefas em que você precisa encontrar a borda de um cubo, geralmente isso deve ser feito com base em informações sobre seu volume, área de faceta ou sua diagonal. Existem várias opções para definir uma borda do cubo.

Nesse caso, se a área do cubo for conhecida, a borda poderá ser facilmente determinada. A face do cubo é um quadrado com um lado igual à borda do cubo. Assim, sua área é igual à borda quadrada do cubo. Você deve usar a fórmula: a = √S, onde a é o comprimento da borda do cubo e S é a área da face do cubo. Encontrar uma borda do cubo pelo seu volume é uma tarefa ainda mais simples. É necessário levar em conta que o volume do cubo igual ao cubo (no terceiro grau) o comprimento da borda do cubo. Acontece que o comprimento da borda é igual à raiz cúbica de seu volume. Ou seja, obtemos a seguinte fórmula: a = √V, em que a é o comprimento da borda do cubo e V é o volume do cubo.


Na diagonal, você também pode encontrar a borda do cubo. Assim, precisamos: a - o comprimento da borda do cubo, b - o comprimento da diagonal da face do cubo, c - o comprimento da diagonal do cubo. Pelo teorema de Pitágoras, obtemos: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, e daqui você pode facilmente derivar a seguinte fórmula: a = √ (b ^ 2/2), que extrai a borda do cubo.


Mais uma vez, usando o teorema de Pitágoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), podemos obter a seguinte relação: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, da qual derivamos: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, portanto, a borda do cubo pode ser obtida da seguinte maneira: a = √ (c ^ 2/3).


Mais uma vez, usando o teorema de Pitágoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), podemos obter a seguinte relação: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, da qual derivamos: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, portanto, a borda do cubo pode ser obtida da seguinte maneira: a = √ (c ^ 2/3)

*/?>