გეომეტრიული კუბურები. რა არის კუბა დიაგონალი და როგორ უნდა მოიძებნოს იგი

ან ჰექსეჰედრონი) არის სამგანზომილებიანი ფიგურა, თითოეული სახე არის კვადრატი, რომელშიც, როგორც ვიცით, ყველა მხარე თანაბარია. კუბის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც გადადის ფიგურის ცენტრში და აკავშირებს სიმეტრიულ vertices. ჩვეულებრივ ჰექსეჰედრონში 4 დიაგონალია და ყველა მათგანი თანაბარი იქნება. ძალზე მნიშვნელოვანია, რომ ფიგურის დიაგნოზი არ გაუკეთოს თავის ფიგურას ან კვადრატულ დიაგონალს, რომელიც მდებარეობს მის ბაზაზე. კუბის დიაგონალური სახე გადის ცენტრში და უკავშირებს კვადრატის მოპირდაპირე ნიშნებს.

ფორმულა კუბის დიაგნოსტიკისთვის

რეგულარული პოლიჰედრონის დიაგონალი შეიძლება მოიძებნოს ძალიან მარტივი ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც უნდა ახსოვდეს. D = a√3, სადაც D არის კუბის დიაგონალი და არის ზღვარი. ჩვენ მივცემთ პრობლემას, სადაც აუცილებელია დიაგონალის მოძებნა, თუ ცნობილია, რომ მისი სიგანე 2 სმ-ისაა, აქ ყველაფერი D = 2 × 3ა, თუნდაც არაფერია განხილული. მეორე მაგალითში, კუბის კიდევა იყოს √3 სმ, მაშინ ჩვენ მივიღებთ D = √3√3 = √9 = 3. პასუხი: D არის 3 სმ.

ფორმულა, რომლის საშუალებითაც შეგიძლიათ იპოვოთ კუბის პირის დიაგონალი

დიაგო დიაგო   თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სახე ფორმულაზე თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სახე ფორმულაზე. დიაგონალები, რომლებიც ზღვარზეა, მხოლოდ 12 ცალია და ისინი ყველა თანასწორია. ახლა ჩვენ გვახსოვს d = a√2, სადაც d არის კვადრატის დიაგონალი, ასევე კუბის კიდე ან კვადრატის მხარეს. გაგება, სადაც ეს ფორმულა მოვიდა ძალიან მარტივია. ყოველივე ამის შემდეგ, კვადრატის ორი მხარე და დიაგონალური ფორმა.ამ ტრიოში დიაგონალი იცავს ჰიპოტენუზის როლს და კვადრატული მხარეა ფეხები, რომელთაც აქვთ იგივე სიგრძე. გაიხსენეთ პითაგორას თეორემა და ყველაფერი დაუყოვნებლივ დაეცემა. ახლა ამოცანა: ჰექსეჰედრონის ზღვარი არის √8 სმ, აუცილებელია მისი სახეების დიაგონალი. ჩვენ ვამაგრებთ ფორმულაში და მივიღებთ დ = √8 √2 = √16 = 4. პასუხი: კუბის დიაგონალი არის 4 სმ.

თუ კუბის დიაგონალური სახე ცნობილია

პრობლემის პირობით, ჩვენ მოგვცემს მხოლოდ რეგულარულ პოლიჰედრონის სახსრის დიაგონალს, რომელიც, ვთქვათ, √2 სმ, და ჩვენ გვჭირდება კუბის დიაგონალი. ამ პრობლემის მოგვარების ფორმულა ოდნავ უფრო რთულია, ვიდრე წინა. თუ ჩვენ ვიცით დ, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ კუბის ზღვარი, რომელიც ეფუძნება ჩვენს მეორე ფორმულაზე d = a√2. ჩვენ მივიღებთ = დ / √2 = √2 / √2 = 1 სმ (ეს არის ჩვენი ზღვარი). თუ ეს რაოდენობა ცნობილია, მაშინ ადვილია კუბის დიაგონალი: D = 1√3 = √3. სწორედ ასე გადავწყვიტეთ ჩვენი პრობლემა.

თუ ზედაპირის ფართობი ცნობილია


შემდეგი ალგორითმი ეფუძნება დიაგონალის მოძიებას, ვარაუდობენ, რომ ეს არის 72 სმ 2. თავიდანვე ვიპოვით ერთ სახეზე და გვხვდება ექვსი მათგანი, ასე რომ, 72 უნდა იყოფა 6, 12 სმ 2 ეს არის ერთ მხარის ფართობი. რეგულარული polyhedron- ის ზღვარზე გასარკვევად საჭიროა გავიხსენოთ S = a 2, რაც ნიშნავს = √S. შემცვლელი და მივიღებთ = √12 (კუბის ზღვარი). და თუ ჩვენ ვიცით ეს მნიშვნელობა, მაშინ დიაგონალი არ არის რთული D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. პასუხი: კუბის დიაგონალი არის 6 სმ 2.

თუ კუბის კიდეების სიგრძე ცნობილია

არსებობს შემთხვევები, როდესაც პრობლემა მოცემულია მხოლოდ კუბის ყველა კიდეის სიგრძეზე. ამის შემდეგ აუცილებელია ამ ღირებულების 12-ის გაყოფა. ეს არის სწორი მხარეების სწორი მხარეების რაოდენობა. მაგალითად, თუ ყველა კიდეის ჯამი შეადგენს 40, მაშინ ერთი მხარე იქნება 40/12 = 3.333. ჩვენ შედის ჩვენი პირველი ფორმულა და მიიღეთ პასუხი!

რომელშიც თქვენ უნდა მოვძებნოთ ზღვარზე კუბი. ეს არის კუბურის კარის სიგრძის განსაზღვრა კუბის სახეობით, კუბის მოცულობით, კუბის სახისა და კუბის დიაგონალის მიერ. განვიხილოთ ყველა ოთხი ვარიანტი ასეთი ამოცანებისათვის. (დანარჩენი ამოცანები, როგორც წესი, არის ვარიაციები ზემოთ ან ამოცანები ტრიგონომეტრიაში, რაც ძალიან ირიბად დაკავშირებულია საკითხის განხილვისას)

თუ იცით კუბის სახე, მაშინ კუბის ზღვარი ძალიან მარტივია. მას შემდეგ, რაც კუბის სახე არის კვადრატი, კუბის კიდეზე, თანაბარია კუბის კიდეზე. აქედან გამომდინარე, კუბის კიდეის სიგრძე ტოლია მისი პირის ფართობის კვადრატულ ფესვზე, ანუ:

და - კუბის კიდეის სიგრძე,

S არის კუბის სახე.

კუბის სახეების მოცულობის მოძიება უფრო ადვილია. იმის გათვალისწინებით, რომ კუბის მოცულობა უდრის კუბის კიბოს სიგრძის კუბი (მესამე ხარისხის), ვგულისხმობთ, რომ კუბის კიდეის სიგრძე ტოლია მისი მოცულობის კუბური (მესამე ხარისხის) ფესვზე, ანუ:

და - კუბის კიდეის სიგრძე,

V არის კუბის მოცულობა.

კუბის პირას სიგრძის გასწვრივ ცნობილი დიაგონალური სიგრძის გაცნობა უფრო რთულია. დადასტურება:

არის კუბურის სიგრძე;

ბ - კუბის სახე დიაგონალის სიგრძე;

გ - კუბის სიგრძე დიაგონალი.

როგორც ფიგურადან ჩანს, კუბის სახისა და კიდეების დიაგონალი ქმნის მართკუთხა ტოლგვერდა სამკუთხედს. აქედან გამომდინარე, პითაგორას თეორემის მიხედვით:

აქედან ვნახავთ:

(იპოვონ კუბის ზღვარი, რომელიც საჭიროა ამონაწერი კვადრატული ფესვი საწყისი დიაგონალური კვადრატის ნახევარიდან).

კუბის კიდეზე მისი დიაგონალის გასწვრივ მოვძებნოთ ნიმუში. კუბის დიაგონალი (გ), სახელის დიაგონალი (ბ) და კუბის კიდევა (ა) ქმნის მარჯვენა სამკუთხედს. ასე რომ, პითაგორას თეორემის მიხედვით:

ჩვენ ვიყენებთ ზემოთ ბირთვის შორის ურთიერთობას და შემცვლელს ფორმულაში

ბ ^ 2 = ა ^ 2 + ^ 2. მივიღებთ:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, ვინაიდან ჩვენ ვპოულობთ:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, ამიტომ:

კუბი არის მართკუთხა პარალელეპიპი, ყველა კიდეები თანაბარია. აქედან გამომდინარე, გამარტივებულ კუბურში მართკუთხა პარალელეპიფის მოცულობის საერთო ფორმულა და მისი ზედაპირის ფორმის ფორმულა გამარტივებულია. გარდა ამისა, კუბის მოცულობა და მისი ზედაპირის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, იცოდეს მასში ჩაწერილი ბურთის მოცულობა, ან მის გარშემო აღწერილი ბურთი.

თქვენ დაგჭირდებათ

  • კუბის მხარის სიგრძე, ჩაწერილი და აღწერილი ბურთის რადიუსი

ინსტრუქცია

მართკუთხა პარალელეპიფის მოცულობის მოცულობაა: V = abc - სადაც ა, ბ, გ არის მისი ზომები. აქედან გამომდინარე, კუბის მოცულობა უდრის V = a * a * a = a ^ 3, სადაც კუბის მხარის სიგრძეა, კუბის ზედაპირის ფართობი ტოლია მისი ყველა სახეობის ტერიტორიის ჯამიზე. კუბს ექვსი სახე აქვს, ამიტომ მისი ზედაპირი არის S = 6 * (a ^ 2).

მოდით ბურთი ჯდება cube. ცხადია, ამ ბურთი დიამეტრი იქნება კუბის მხარეს. კვადრატის სიგრძის ნაცვლად დიამეტრის სიგრძის გამოყოფა და დიამეტრი ორჯერ რადიუსის ტოლია, ვგულისხმობთ შემდეგ V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), სადაც d იწერება წრის დიამეტრი და r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი, კუბურის ზედაპირის ფართობი იქნება S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

მოდით, ბურთის აღწერილობა გარშემო კუბი . მაშინ მისი დიამეტრი დაემთხვევა კუბის დიაგონალს. კუბის დიაგონალი კუბის ცენტრში გადის და მის ორ საპირისპირო წერტილს აკავშირებს.
განვიხილოთ კუბის პირველი სახეები. ამ კუთხის კიდეები მარჯვენა სამკუთხედის ფეხებია, რომელთა დიაგონალიც ექნება ჰიპოტენუზიას. შემდეგ, პითაგორას თეორემით ვიღებთ: d = sqrt (a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

შემდეგ განიხილეთ სამკუთხედი, რომელშიც ჰიპოტენუზაა კუბის დიაგონალი, და კერის დიაგონალი და კუბის ერთ-ერთი კიდეები მისი ფეხებია. ანალოგიურად, პითაგორას თეორემით ჩვენ მივიღებთ: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) * a * sqrt (3).
ასე რომ, მიღებული ფორმულის თანახმად, კუბის დიაგონალი არის D = a * sqrt (3). აქედან გამომდინარე, = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). აქედან გამომდინარე, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), სადაც R არის რადიუსის აღწერილი ბურთი კუბურის ზედაპირის ფართობია S = 6 * (D / sqrt (3)) ^ 2 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

ხშირად არსებობს ამოცანები, სადაც თქვენ უნდა მოძებნოთ კუბის ზღვარი, ხშირად ეს უნდა გაკეთდეს მისი მოცულობის, ფირმის ან მისი დიაგონალის შესახებ ინფორმაციის საფუძველზე. არსებობს რამდენიმე ვარიანტი განსაზღვრის კუბურ პირას.

ამ შემთხვევაში, თუ კუბის ფართობი ცნობილია, მაშინ ზღვარი შეიძლება ადვილად განისაზღვროს. კუბის სახე არის კვადრატი კუბის კიდეზე. შესაბამისად, მისი ფართობი უდრის კუბურის კვადრატულ ზღვას. თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა: a = √S, სადაც არის კუბის კიდეის სიგრძე და S არის კუბის სახე. კუბურ ზღვარზე მისი მოცულობის მოძიება კიდევ უფრო მარტივი ამოცანაა. საჭიროა გავითვალისწინოთ, რომ კუბის მოცულობა უდრის კუბი (მესამე ხარისხში) კუბის კიდეის სიგრძე. გამოდის, რომ ზღვრის სიგრძე ტოლია მისი მოცულობის კუბურ ფესვზე. ანუ ჩვენ მივიღებთ შემდეგ ფორმულას: a = √V, სადაც არის კუბის კიდეის სიგრძე და V არის კუბის მოცულობა.


დიაგონალზე, ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ კუბის ზღვარი. შესაბამისად, ჩვენ გვჭირდება: - კუბის კიდეის სიგრძე, ბ - კუბის სახე დიაგონალის სიგრძე, გ - კუბის დიაგონალის სიგრძე. პითაგორას თეორემით ჩვენ მივიღებთ: ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2 და აქედან შეგიძლიათ ადვილად გამოვიყენოთ შემდეგი ფორმულა: a = √ (b ^ 2/2), რომელიც კუბის კიდეებს ამოიღებს.


კიდევ ერთხელ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას (^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ურთიერთობა: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, საიდანაც ჩვენ მივიღებთ: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, აქედან გამომდინარე, კუბის ზღვარი შეიძლება იქნეს მიღებული: a = √ (c ^ 2/3).


კიდევ ერთხელ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას (^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ურთიერთობა: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, საიდანაც ჩვენ მივიღებთ: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, აქედან გამომდინარე, კუბის ზღვარი შეიძლება იქნეს მიღებული: a = √ (c ^ 2/3)

*/?>